OBRIGAÇÃO REIPERSECUTÓRIA, o que é?

A expressão "obrigação reipersecutória" tem dois sentidos bem diferentes.

Sentido 1
OBRIGAÇÃO REIPERSECUTÓRIA é a obrigação que acompanha a coisa, devendo ser cumprida por quem quer  que seja seu atual dono. Quando o dono aliena a coisa para terceiro, este terceiro passa a ter que cumprir a obrigação, justamente porque ela acompanha a coisa aonde quer que ela vá.

Outros nomes: OBRIGAÇÃO REAL, OBRIGAÇÃO PROPTER REM 

Opõe-se a: OBRIGAÇÃO PESSOAL

Exemplos: a obrigação de pagar IPTU recai sobre quem quer que seja o dono do imóvel. Se você vender o seu imóvel, lava as mãos de eventual dívidas de IPTU, que passam a ser problema do novo dono. O mesmo vale para a obrigação de pagar IPVA, que é de quem quer que seja o atual dono do veículo automotor. No direito civil, na hora de construir uma cerca para dividir dois terrenos, ambos os donos têm a obrigação de arcar com metade do custo da cerca. Imagine que você compra um terreno que é separado do outro por uma cerca. Depois da compra, o vizinho vem até você cobrar metade do valor da cerca. Ele alega que, no momento da construção, ele é quem teve que arcar com o custo da obra, vindo depois a cobrar do vizinho a parte dele, mas esse vizinho se recusou a pagar, alegando falta de dinheiro. Aí esse vizinho sem dinheiro vendeu o terreno para você, e, como você é o novo dono, agora é sua a obrigação de pagar os 50% do custo de construir a cerca. Você não pode se esquivar dessa obrigação falando que não assinou nenhum contrato se obrigando a pagar 50% de nenhuma cerca, porque isso é irrelevante: como a obrigação é reipersecutória, ela surge para você do mero fato de ser proprietário da coisa, independentemente de existir ou não contrato. 

Origem do nomerei (relativo a coisa) + persecutoriu (aquilo que persegue). "Reipersecutório" quer portanto dizer, etimologicamente, aquilo que persegue a coisa.
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Sentido 2
OBRIGAÇÃO REIPERSECUTÓRIA, conforme o termo é usado no art. 790, I do CPC/2015, quer dizer obrigação de entregar um bem, seja esta obrigação derivada de direito real ou de direito pessoal.

Exemplo: a ação reivindicatória de imóvel e a ação de despejo são ambas ações reipersecutórias, na medida em que visam a entrega do imóvel ao proprietário. No entanto, elas se diferenciam pelo fato de a ação de despejo ser baseada em direito pessoal ou obrigacional, oponível contra o locatário, enquanto a ação reivindicatória é baseada em direito real de propriedade, oponível contra todos. 

Contexto: CPC/15, art. 790: "São sujeitos à execução os bens: - do sucessor a título singular, tratando-se de execução fundada em direito real ou obrigação reipersecutória."

Ação reipersecutória é qualquer ação pela qual se pretende obter a entrega de uma coisa determinada que atualmente está em poder de outra pessoa. A ação reipersecutória é um gênero do qual são espécies a ação reipersecutória fundada em direito real (denominada ação real reipersecutória ou ação reipersecutória real) e a ação reipersecutória fundada em direito pessoal (denominada ação pessoal reipersecutória ou ação reipersecutória pessoal). 

O significado do art. 790 se torna mais claro quando se o reescreve de outra forma: "São sujeitos à execução os bens: - do sucessor a título singular, tratando-se de execução fundada em direito reipersecutório real ou, mais geralmente, qualquer direito reipersecutório." 

Ou, para simplificar mais ainda: "São sujeitos à execução os bens: - do sucessor a título singular de determinada coisa, quando o próprio objeto da execução era o exequente de ter para si aquela coisa específica."